差分
ad
首先我们来看在“无限演算”中所使用的
Df(x) = Limit[f(x+h)-f(x),h -> 0]
这是定义微分算子D的性质。“有限演算”基于由
Δf(x)=f(x+1)-f(x)
定义在差分算子Δ的性质上。
差分与微分有许多类似的性质(事实上微分可认为是差分的极限)，对于幂函数的微分有
D(x^m) = m * x^(m-1) dx
我们寻找一种类似的差分性质：
设：
Mi(x,m) = x(x-1)(x-2)…(x-m+1) ， 整数 m > 0
Mi(x,m) = x/((x+0)(x+1)(x+2)…(x+m))，整数 m ≤ 0
那么
ΔMi(x,m) = m * Mi(x,m-1) .
定义了差分，那么就有其逆算子，我们称之为 逆差分：
g(x) = Σf(x) + C
Σ为逆差分算子，g(x) 为 f(x) 的逆差分，C是在x,x+1,x+2……上为任意常数的函数，我们可以使用逆差分来进行求和运算：
Sum[f(x),{x,m,n-1}] (Mathematica语法)
= Sum[g(x+1)-g(x),{x,m,n-1}]
= g(n) - g(m)
注：Sum即Σ逆差分算子。
这里我们可以求出一些函数的逆差分：
ΣMi(x,m) = Mi(x,m+1)/(m+1) + C ,
Σ1/x = H(x-1) + C ,H(x) = 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/x,
Σ2^x = 2^x + C,
Σ1 = x + C
例 求：
Sum[x^2,{x,0,n}] (Mathematica语法)
= Sum[Mi(x,2) + Mi(x,1),{x,0,n}]
= Sum[Mi(x,2),{x,0,n}] + Sum[Mi(x,1),{x,0,n}]
= (Mi(n+1,3) - Mi(0,3))/3 + (Mi(n+1,2) - Mi(0,2))/2
= n(1+n)(1+2n)/6
因为：
Δ(u(x)*v(x))
= u(x+1)*v(x+1) - u(x)*v(x)
= u(x+1)*v(x+1) - u(x+1)*v(x) + u(x+1)*v(x) - u(x)*v(x)
= u(x+1)*Δv(x) + v(x)*Δu(x)
所以：
v(x)*Δu(x) = Δ(u(x)*v(x)) - u(x+1)*Δv(x)
所以：
Σv(x)*Δu(x) = u(x)*v(x) - Σu(x+1)*Δv(x)
例 求：
Σx*H(x)
= ΣH(x)ΔMi(x,2)/2
= H(x) * Mi(x,2)/2 - ΣMi(x+1,2)/2*ΔH(x)
= H(x) * Mi(x,2)/2 - ΣMi(x+1,2)/2 * 1/(x+1)
= H(x) * Mi(x,2)/2 - Σx/2
= H(x) * Mi(x,2)/2 - Mi(x,2)/4 + C118cha.com提供
此内容系本站根据您的指令自动搜索到的结果，不代表本站赞成其中所述的内容或立场
ad
百科全书查询结果由 118cha.com 提供 [复制结果]